Cách chứng minh nhiều điểm cùng thuộc một đường tròn

Tải xuống

A. Phương pháp giải

+ Chứng minh rằng các điểm đồng dạng cách đều điểm O đến R . Khi đó các điểm đó sẽ thuộc đường tròn tâm O bán kính R.

+ Sử dụng cung chứa góc: Chứng minh rằng các điểm liên tiếp hợp với đoạn cố định AB một góc α bằng nhau. Ngược lại, các điểm đó thuộc cùng một cung chứa góc α tạo thành trong đoạn AB nên các điểm đó thuộc cùng một đường tròn chứa cung có góc α tạo thành trong đoạn AB.

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Gọi I, O lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp và đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có A = 60o. Gọi H là giao điểm của các đường cao BB’ và CC’. Chứng minh các điểm B, C, O, H, I cùng thuộc một đường tròn.

Hướng dẫn giải pháp

Xét đường tròn + (O):

là góc ở tâm cung BC

BC là góc nội tiếp cắt cung

+ Tứ giác AC’HB’ có:

Trong đó (BB’, CC’ là độ cao)

+ Vì tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC là I

Kết quả BI, CI lần lượt là tia phân giác của .

Xét tam giác IBC, ta được: (3)

Từ (1), (2) và (3).

Do đó H, I, O nhìn BC cố định một góc 120°.

Như vậy H, I, O lần lượt là cung chứa góc 120 độ thuộc đoạn BC.

⇒ B, O, I, H, C lần lượt là đường tròn có một dây cung bằng 120o dựng trên đoạn BC.

Ví dụ 2: Cho nửa đường tròn đường kính AB, từ đó lấy các điểm D và E (nằm giữa EA và D). AD cắt BE tại I, AE cắt BD tại F.

Một. Chứng minh IF AB tại J

b. Gọi P, Q, R lần lượt là trung điểm của AB, AF, IF. 4 Chứng minh các điểm J, P, Q, R cùng thuộc một đường tròn.

Hướng dẫn giải pháp

Một. Đường tròn đường kính AB có D, E

⇒ (góc nội tiếp cắt nửa đường tròn)

⇒ AD, BE là các đường cao của tam giác AFB

Mà BE cắt AD tại điểm I

⇒ I là trực tâm của tam giác AFB

IF là đường cao của tam giác AFB

⇒ NẾU ⊥ AB tại J (đpcm)

b. ΔPJR vuông tại J (IJ ⊥ AB) ⇒ J nằm trên đường tròn đường kính PR

P, Q là trung điểm của AB và BF là trung điểm của PQ ΔABF

PQ // BF

AD BF đó

QUẢNG CÁO PQ

R, Q là trung điểm của IF và BF RQ là trung điểm của IFA

⇒ RQ // AD

AD PQ nào

⇒ RQ PQ

⇒

⇒ Q nằm trên đường tròn đường kính PR (**).

Từ và (**) cho bốn điểm P, Q, R, J nằm trên đường tròn đường kính PR.

Ví dụ 3:

Cho tam giác vuông ABC. Lấy điểm D trên AC. Hình chiếu của D trên BC là E, điểm đối xứng của E qua BD là F. Chứng minh rằng các điểm A, B, E, D, F nằm trên 5 điểm bằng nhau. vòng tròn. Tìm tâm O của đường tròn.

Hướng dẫn giải pháp

ΔBAD nằm trên đường tròn đường kính BD có góc A bằng 90o A.

Góc E của ΔBED bằng 90o (E là hình chiếu của D trên BC) ⇒ E nằm trên đường tròn đường kính BD.

F đối xứng với E qua BD nên F cũng nằm trên đường tròn đường kính BD (đường tròn đối xứng). 5 Điểm A, B, E, D, F nằm trên đường tròn đường kính BD, tâm O là trung điểm của BD.

Ví dụ 4:

Cho hình vuông ABCD có hai đường chéo cắt nhau tại điểm O. Qua đó kẻ hai đường thẳng vuông góc cắt các cạnh AB, BC, CD, DA lần lượt tại các điểm M, N, P, Q. Chứng minh rằng các điểm M, N, P, Q thẳng hàng. vòng tròn.

Hướng dẫn giải pháp

+ Xét ΔAMO và ΔCPO ta có:

(góc trong hai bước)

OA = OC (đặc trưng bậc hai)

(hai góc đối đỉnh)

⇒ AMO = CPO (g – c – g)

⇒ OM = OP (hai cạnh bằng nhau) (1)

+ Chứng minh tương tự cho cặp BNO và DQO

⇒ ON = OQ (hai cạnh bằng nhau) (2)

+ Xét ΔBNO và ΔCPO ta có:

OB = OC (đặc trưng bậc hai)

(cộng hai góc)

⇒ BNO = CPO (g – c – g)

⇒ BẬT = MỞ (3)

+ Tứ giác MNPQ có OM = OP, ON = OQ

⇒ MNPQ là hình bình hành (theo dấu dữ kiện)

Từ (1), (2) và (3) suy ra: MP = QN

⇒ MNPQ là hình chữ nhật

⇒

Do đó M và P nằm trên đường tròn QN cùng đường kính. Như vậy M, N, P, Q thuộc đường tròn đường kính QN.

Ví dụ 5:

“Góc sút” của quả phạt 11 mét là gì? Lưu ý rằng mục tiêu rộng 7,32 m. Kể tên 2 vị trí khác trên sân có cùng “góc sút” đá phạt 11 mét.

Hướng dẫn giải pháp

Gọi vị trí của quả bóng M để thực hiện quả đá phạt và chiều rộng cánh tay là PQ thì M nằm trên đường trung trực của PQ.

Gọi H là trung điểm của PQ, ta có:

Thực hiện cuộc gọi

Vì M nằm trên đường trung trực của PQ nên MH vuông góc với PQ.

Tam giác MPH vuông tại H, ta áp dụng các tỉ số lượng giác trong tam giác vuông:

Như vậy, góc của quả đá phạt là 2α ≈ 37o12′.

+ Vẽ cung chứa góc 37o12′ chắn bởi đoạn thẳng PQ. Bất kỳ điểm nào trên cung vừa vẽ đều có “góc sút” giống như quả phạt 11 mét. C. Bài tập trắc nghiệm

Câu hỏi 1 :

Cho tam giác ABC cân tại A, các đường cao AI, BK, CL cắt nhau tại H. Sau đó:

Một. Bốn điểm A, B, K, H nằm trên đường tròn

b. Bốn điểm B, L, K, H nằm trên đường tròn

c. Bốn điểm B, C, K, L nằm trên đường tròn

d. Bốn điểm A, C, L, H nằm trên đường tròn

Hướng dẫn giải pháp

TRẢ LỜI

+ B, H, K thẳng hàng nên bốn điểm A, B, K, H không cùng thuộc một đường tròn; Bốn điểm B, L, K, H không cùng thuộc một đường tròn.

+ C, L, H thẳng hàng nên bốn điểm A, C, L, H không cùng thuộc một đường tròn.

+ Ta có: Suy ra K, L thuộc đường tròn đường kính BC nên bốn điểm B, C, L, K cùng thuộc một đường tròn.

Câu 2:

Cho nửa đường tròn đường kính AB lấy hai điểm D và E (nằm giữa DA và E). AD cắt BE tại I, AE cắt BD tại F, IF cắt AB tại J. Gọi P, Q, R, M, N lần lượt là trung điểm của AB, BF, IF, BI, IA. Khi đó 8 điểm Q, R, E, N, J, P, M, D lần lượt nằm trên đường tròn:

A. đường kính PR

B. đường kính DQ

C. đường kính SE

D. đường kính JR

Hướng dẫn giải pháp

đáp án là A

+ Ta có: D, E thuộc đường tròn đường kính AB

⇒ (góc nội tiếp cắt nửa đường tròn)

⇒ AD, BE là các đường cao của tam giác AFB

Mà BE cắt AD tại điểm I

⇒ I là trực tâm của tam giác AFB

IF là đường cao của tam giác AFB

⇒ NẾU ⊥ AB tại J (đpcm)

+ ΔPJR vuông tại điểm J (IJ ⊥ AB) ⇒ J nằm trên đường tròn đường kính PR

P, Q là trung điểm của AB và BF là trung điểm của PQ ΔABF

PQ // BF

AD BF nào

QUẢNG CÁO PQ

R, Q là trung điểm của IF và BF RQ là trung điểm của IFA

⇒ RQ // AD

AD PQ nào

⇒ RQ PQ

⇒

⇒ Q nằm trên đường tròn đường kính PR (**).

Từ và (**) cho bốn điểm P, Q, R, J nằm trên đường tròn đường kính PR.

Và 8 điểm Q, R, E, N, J, P, M, D cùng nằm trên một đường tròn

Hãy kết luận 8 điểm Q, R, E, N, J, P, M, D nằm trên đường tròn đường kính PR.

Câu 3:

Cho hình thoi ABCD, đường trung trực của cạnh AB cắt BD tại E và AC tại F.

A. E là tâm ngoại tiếp tam giác ABD

B. F là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD

C. E là tâm ngoại tiếp tam giác BCD

DF là trọng tâm tam giác ABC

Hướng dẫn giải pháp

Không trả lời

Vì ABCD là hình thoi

⇒ AC ⊥ BC , O là trung điểm của BD Hay AC là tia phân giác của BD

Xét tam giác ABD, hai đường phân giác cắt nhau tại điểm F

Vậy F là tâm ngoại tiếp tam giác ABD.

Câu 4:

Cho nửa đường tròn đường kính AB lấy hai điểm D và E (nằm giữa DA và E). AD cắt BE tại I, AE cắt BD tại F, FI cắt AB tại J. Chọn cụm từ sai.

A. I, D, E, F cùng thuộc một đường tròn

B. I, D, B, J cùng thuộc một đường tròn

C. I, J, E, A cùng thuộc một đường tròn

D. I, J, F, D cùng thuộc một đường tròn Hướng dẫn giải pháp

TRẢ LỜI DỄ DÀNG

Vì I, J, F cùng nằm trên một đường thẳng nên bốn điểm I, J, F, D không cùng thuộc một đường tròn.

Câu 5:

Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 8 cm, BC = 6 cm. 4 Độ dài bán kính đường tròn đi qua các điểm A, B, C, D bằng:

A. 5 cm

B. 8cm

C. 6cm

D. 10cm

Hướng dẫn giải pháp

đáp án là A

Vì ABCD là hình chữ nhật nên

⇒ A, C cùng thuộc một đường tròn đường kính BD

⇒ A, B, C, D cùng thuộc đường tròn đường kính BD

Gọi nó là trung điểm của BC.

Xét tam giác ABD vuông tại A, ta có:

BD2 = AB2 + BD2 = 82 + 62 = 100 ĐB = 10 cm

.

Vậy bán kính đường tròn đi qua 4 điểm là 5 cm.

Câu 6:

Từ điểm M thuộc cạnh của đường tròn (O), kẻ đường thẳng MAB qua O và các tiếp tuyến MC, MD. Gọi K là giao điểm của AC và BD. Bốn điểm nào sau đây cùng thuộc một đường tròn?

A. B, C, M, K cùng thuộc một đường tròn.

B. D, M, A, B cùng thuộc một đường tròn.

C. M, A, O, B cùng thuộc một đường tròn.

D. D, M, C, A cùng thuộc một đường tròn.

Hướng dẫn giải pháp

đáp án là A

Tại điểm C ta có tiếp tuyến cắt tiếp tuyến tại D tại M . Sau đó:

MC = MD (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

⇒ M là trung trực của CD

OC = OD = RẺ

⇒ Nó thuộc về phương tiện của đĩa CD

Vậy MO là trung trực của CD hay AB là trung trực của CD.

⇒

Kết quả (hai góc nội tiếp cắt hai dây cung bằng nhau)

Mặt khác (góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung và góc chắn bởi dây cung CA) Vì thế:

⇒ Hai đỉnh B và C liên tiếp có cùng cạnh MK và vuông góc với nhau

Như vậy B, C cùng thuộc một cung chứa góc phụ trong đoạn MK nên M, C, B, K cùng thuộc một đường tròn.

Câu 7:

Cho tam giác vuông ABC. Qua C vẽ đường thẳng vuông góc với tia phân giác của góc tại D. Bốn điểm A, B, C, D nằm trên đường tròn có tâm:

A. M là trung điểm của AB

B. N là trung điểm của BD

CP là trung điểm của AC

D. Q là trung điểm của BC

Hướng dẫn giải pháp

TRẢ LỜI DỄ DÀNG Chúng ta có:

⇒ A, D cùng thuộc một đường tròn đường kính BC

Như vậy bốn điểm A, B, C, D cùng thuộc một đường tròn tâm BC.

Câu 8:

Lấy điểm M nằm ngoài đường tròn (O;R) sao cho . Từ M kẻ hai tia tiếp tuyến MQ, MP (P, Q là các tiếp điểm) và một tiếp tuyến MAB (nằm giữa AM và B). Gọi a là trung điểm của AB. 5 Bán kính đường tròn đi qua các điểm M, P, I, O, Q:

Hướng dẫn giải pháp

TRẢ LỜI DỄ DÀNG

Ta có I là trung điểm của AB

⇒ OI ⊥ I thuộc AB

⇒

Nhắc lại, ta có: (MP tiếp tuyến với MQ(O))

⇒

• Do đó P, Q, I thuộc đường tròn đường kính OM, tâm là trung điểm của OM
• Do đó 5 điểm P, Q, I, O, M cùng thuộc một đường tròn đường kính OM và bán kính bằng .
• Tải xuống
• Tham khảo thêm các bài giải tự chọn môn Toán lớp 9 có lời giải chi tiết:
• Cách dựng hình cung có góc rất hay và chi tiết

Cách chứng minh tứ giác nội tiếp rất hay và chi tiết Ứng dụng chứng minh tứ giác nội tiếp song song, vuông góc, thẳng hàng, song song

• Cách xác định tâm và bán kính của hình tròn, đường tròn