Nguyên hàm là chuyên đề quan trọng trong Giải tích 12 và thường xuyên xuất hiện trong các đề thi đại học. Vì vậy, có công thức nguyên thủy Điều gì là quan trọng để ghi nhớ? Team Marathon Education sẽ giúp bạn giải đáp thắc mắc và tìm hiểu thêm về bảng công thức nguyên thủy từ cơ bản đến nâng cao và các kỹ thuật giải bài toán nguyên hàm thường gặp qua bài viết dưới đây.

>>> Xem thêm: Nguyên hàm Toán 12 – Lý Thuyết Và Hướng Dẫn Giải Bài Tập

Hàm nguyên thủy là gì?

Trước khi tìm hiểu các công thức về nguyên hàm, học sinh phải nắm vững khái niệm nguyên hàm cũng như các tính chất, định lý liên quan.

định nghĩa của nguyên thủy

Cho hàm f(x) xác định trên K, khi đó hàm F(x) F'(x) = f(x) (với mọi x ∊ K) được gọi là nguyên hàm trên K. , K ℝ) có thể là các khoảng, đoạn hoặc nửa phạm vi ở trên.

Ký hiệu nguyên hàm của hàm f(x) là:

định lý nguyên thủy

Ba định lý của nguyên hàm là:

• Định lý 1: Giả sử F(x) là một nguyên hàm trên K của f(x). Khi đó, với mọi hằng số C, hàm G(x) = F(x) + C cũng là một nguyên hàm của f(x).
• Định lý 2: Trên K, nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) thì mọi nguyên hàm của f(x) trên K đều có dạng F(x) + C, với C là hằng số.
• Định lý 3: Mọi hàm số liên tục f(x) trên K đều có nguyên hàm.

tính năng nguyên thủy

Ba thuộc tính chính của nguyên thủy như sau:

Bảng công thức nguyên hàm cơ bản, mở rộng và nâng cao

Mỗi dạng nguyên thủy có công thức riêng. Các công thức này được sắp xếp theo bảng dưới đây để dễ phân loại, ghi nhớ và áp dụng đúng.

Bảng công thức nguyên hàm cơ bản

Bảng công thức nguyên hàm mở rộng

Bảng công thức tiểu học nâng cao

Bảng nguyên hàm của các hàm lượng giác

2 phương pháp phổ biến để giải các bài toán nguyên hàm

thay đổi phương pháp

Phương pháp này thường được sử dụng khi giải các nguyên hàm. Vì vậy, các em nên áp dụng phương pháp này để giải các bài toán nguyên hàm nhanh và chính xác hơn.

Phương pháp chuyển đổi loại 1:

Cho một hàm u = u(x) có đạo hàm liên tục trên K sao cho y = f(u) liên tục sao cho f[u(x)] Nó được xác định trên K và ∫f(u)du = F(u) + C, khi đó:

f[u(x)]u'(x)dx = F[u(x)] + Cũ

Giải pháp:

Đầu tiên, chọn t = φ(x) và lấy đạo hàm cả hai vế: dt = φ’

Sau đó chuyển đổi biểu thức thành: f(x)dx = f[φ

Kết quả: I = ∫f(x)dx = ∫g

Phương pháp chuyển đổi loại 2: Với bài toán, hàm f(x) liên tục trên K và x = φ

f(x)dx = f[φ

Giải pháp:

Đầu tiên, chọn x = φ

Thực hiện phép biến đổi: f(x)dx = f[φ

Tính: ∫f(x)dx = ∫g

Phương pháp nguyên thủy một phần

phương pháp chung

định lý: Nếu hai hàm u(x) và v(x) có đạo hàm liên tục trên K thì:

Giải pháp:

Đầu tiên, bạn cần chuyển đổi tích phân đầu tiên thành dạng:

Sau đó đặt:

Lúc này bạn sẽ:

Tuỳ từng dạng toán cụ thể mà các em áp dụng phương pháp cho phù hợp.

Các dạng nguyên hàm từng phần tổng quát

Hình thức 1:

Mẫu 2:

Mẫu 3:

>>> Xem thêm: Phương pháp nguyên hàm từng phần và Công thức tính chi tiết nhất

Bài tập về căn thức nguyên hàm

Bài 1 Trang 126 SGK Toán 12

Chủ thể:

Một. Đưa ra định nghĩa nguyên hàm của hàm số f(x) đã cho trên khoảng.

b. Phương pháp nguyên thủy từng phần là gì? Cho ví dụ minh họa cách tính trên.

Mẹo giải bài tập:

Một. Xét hàm số y = f(x) xác định trên tập D.

Nếu Y = F(x) thỏa mãn điều kiện F'(x) = f(x) ∀ x ∈ D thì hàm số Y = F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số y = f(x) trên D.

b.

Một phương pháp nguyên thủy một phần được định nghĩa như sau:

Xét hai hàm số u = u(x) và v = v(x) có đạo hàm liên tục trên D, ta có công thức:

∫u(x).v'(x)dx = u(x).v(x) – ∫v(x).u'(x)dx hoặc ∫udv = uv – ∫vdv

Ví dụ minh họa: Tính nguyên hàm của hàm A = xexdx

Trả lời:

Bài 2 trang 126 SGK Toán 12

Chủ thể:

Một. Đưa ra định nghĩa của nguyên hàm f(x) trên đoạn [a;b]

b. Tính chất của tích phân là gì? Cho ví dụ cụ thể.

Mẹo giải bài tập:

Một. Xét hàm liên tục y = f(x). [a; b]Cho f(x) là một nguyên hàm của f(x). [a;b]

Khi đó tích phân cần tìm được ký hiệu là hiệu F(b)-F(a):

b. Tính chất tích phân:

Bài 3 trang 126 SGK Toán 12

Chủ thể:

Tìm nguyên hàm của các hàm sau:

Mẹo giải bài tập:

Một. Chúng ta có:

tôi nghĩ

b. Chúng ta có:

thu được:

c. Chúng ta có:

thu được:

đ. Với bài tập này, các em có thể làm theo cách giải thông thường là khai triển hằng đẳng thức cấp 3 rồi áp dụng nguyên hàm cho từng hàm nhỏ. Hoặc bạn cũng có thể sử dụng phương pháp xác định ẩn phụ để giải quyết nguyên hàm như sau:

Chúng ta có:

Bài 4 SGK Toán 12

Chủ thể:

Tính một số nguyên hàm sau:

Mẹo giải bài tập:

Hoàn thành trường trung học phổ thông năng khiếu số 4 trong lĩnh vực khoa học

Chủ thể:

Cho a và b là các số nguyên

Đặt tổng P = a + b

Mẹo giải bài tập:

Đề thi thử Sở GD Bình Thuận

Chủ thể:

Cho hàm số f(x) là nguyên hàm của hàm số f(x). Khi biết F(3) = 3, tích phân:

Mẹo giải bài tập:

Đối với dạng bài nâng cao này, các bạn sẽ kết hợp 2 phương pháp là tích phân ẩn (đặt ẩn phụ) và tích phân từng phần.

Hãy xem các khóa học trực tuyến của Marathon Education ngay bây giờ

Qua bài viết trên, Team Marathon Education đã chia sẻ đến các bạn lý thuyết cơ bản về nguyên hàm, nguyên hàm cơ bản và mở rộng cùng các khái niệm cơ bản khác. công thức nguyên thủy phải nắm vững. Chúng tôi hy vọng bài viết sẽ giúp bạn ghi nhớ công thức nguyên thủy thực hiện chúng một cách hiệu quả và giúp giải quyết vấn đề một cách nhanh chóng.

Hãy liên hệ ngay với Marathon nếu bạn cần bất cứ điều gì học trực tuyến Tăng kiến ​​​​thức của bạn! Marathon Education chúc bạn thành công trong các bài kiểm tra và kỳ thi sắp tới!